Factorización de Binomios

Suma o Diferencia de Cubos

1.- Identificación

  a³ + b³    ó     a³ - b³

Donde a y b son expresiones algebraicas, es decir contienen un signo un coeficiente y una o varias literales con sus respectivos exponentes

2.- Regla

Binomios cuyos términos son suma o diferencia de cubos perfectos (se les puede extraer raíz cúbica exacta). Se escribe un binomio con la suma o diferencia de estas raíces, multiplicado por el trinomio compuesto de, el cuadrado del primer término, más o menos el producto del primer término por el segundo más el segundo término al cuadrado.

                      

                      a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)   y

                      a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)

Ejemplos:

x³ - 8

La raíz cúbica de x³ es x y la raíz cúbica de 8 es 2, por lo tanto la factorización de x³ - 8 es:

(x - 2) (x² + 2x + 4)

64a⁶ + 27x³y³

La raíz cúbica de 64 es 4, la raíz cúbica de a⁶ es a², la raíz cúbica de 27 es 3 y la raiz cúbica de x³y³ es xy, por lo cual la factorización de 64a⁶ + 27x³y³ es:

(4a² + 3xy) (16a⁴- 12a²xy +9x²y²)

más ejemplos en:

http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/ejercisd.htm

http://ejercicioscasosdefactorizacion.blogspot.com/

Factorización de Binomios

Diferencia de Cuadrados
1.- Identificación:

                              a² - b²

Donde a y b son expresiones algebraicas, es decir contienen un signo un coeficiente y una o varias literales con sus respectivos exponentes

2.- Regla

Binomios cuyos términos son cuadrados exactos de ciertos números. Se escribe la suma y la diferencia de las raíces cuadradas de estos números.

                             (a + b) (a - b)

Ejemplos:

25x² – 4y²

Por lo que las raíces cuadradas de cada término son respectivamente (5x) y (2y)

(5x + 2y) (5x – 2y)

9x²y² - 16a⁴

Las raíces cuadradas de los términos anteriores son: (3xy) y (4a²)

(3xy + 4a²) (3xy - 4a²)

más ejemplos en:

http://bc.inter.edu/facultad/smejias/algebra/conferencias/difcuadra.htm

http://www.thatquiz.org/es/previewtest?NWXO5312

                       

Factorización Por Factor Común (por agrupación)

Factorización por agrupación
1.- Identificación
                            ac + bc + ad + bd
de donde a, b, c, d son expresiones algebraicas

2.- Regla: La expresión no tiene divisor común, pero si divisor parcial.
                           ac + bc + ad + bd
a) Se señalan los términos que tienen divisor común parcial
                           ac + bc + ad + bd
b) Se obtiene el factor común (el divisor parcial) de cada termino.
                           c (a + b) + d (a + b)
c) Se obtiene el factor común de estos ultimos terminos (a + b).
                          (a + b) (c + d)

Ejemplo:

Facorizar la siguiente expresión por el método de factor común por agrupación
                                     2ax - 4bx  + ay - 2by

a)   2ax - 4bx  + ay - 2by

      2x (a - 2b) + y (a - 2b)

        (a - 2b) (2x + y)

b)   2x² - 4xy + 4x - 8y
     2x (x - 2y) + 4 (x - 2y)

     (x - 2y) (2x +4)

más ejercicios en:  http://ehenao.wordpress.com/ejercicios-resueltos/
                                      http://ejercicioscasosdefactorizacion.blogspot.com/

Factorización por ƒactor común (divisor común)

Divisor Común

La factorización de polinomios por factor común consiste básicamente en la aplicación de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición, para esto recordemos que esta propiedad expresa:

                                             a•b + a•c + a•d = a•(b+c+d)

Por lo tanto para identificar un polinomio que pueda factorizarse por factor común, analiza primero el ejercicio y luego decide la estrategia de factorización a utilizar. Se puede verificar el resultado aplicando la ley o propiedad distributiva y si lo que se obtiene es el ejercicio original está correcto.

Es sumamente importante que se sigan los pasos que aparecen a continuación.

Se busca un coeficiente y una literal que divida a todos los términos. El coeficiente debe ser el máximo común divisor (m.c.d.). La literal o literales deben ser aquéllas que estén presentes en cada uno de los términos con el menor exponente. Este término es el factor común.

Ejemplos:

                         6x³ y⁵ −18x² y⁷ + 24x⁴ y  =  6x² y(xy⁴ − 3y⁶ + 4x² )

                        3a(1− 5b) − 4b(1− 5b) = (1− 5b)(3a − 4b)

para mas ejercicios consulta la siguiente liga: http://www.vitutor.com/ab/p/d_i.html

FACTORIZACIÓN

La factorización es un proceso matemático con el cual modificamos las expresiones algebraicas  convirtiéndolas en otras que sean equivalentes y mas simples. 

Factorizar significa encontrar factores simples que den origen a una expresión algebraica mas complicada ejemplo: 

                             Aritméticamente                                             Algebraicamente 

                      18  =  6•3, 3•3•2  ó  9•2                                       x² +2x +1 = (x +1)²

Diremos finalmente que una expresión algebraica esta factorizada completamente, si esta como el producto de dos o más factores y cada uno de éstos no se puede factorizar  en otros factores.

La factorización se realiza por tres métodos generales:

•      Por factor común;
•      Por agrupación, y
•      Por casos especiales de factorización 

Los casos especiales  de factorización son: Binomio al cuadrado, Binomio al cubo, Binomios conjugados, producto de dos binomios con término común, producto de dos binomios con términos semejantes, factorización de la suma de dos cubos y factorización de la diferencia de dos cubos.

Los antecedentes que el estudiante debe dominar para factorizar una expresión algebraica son:  descomposición en factores primos, multiplicación y división de expresiones algebraicas y para los casos particulares de factorización, es necesario  conocer y dominar el tema de productos notables.